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大道至簡:再議數學教學內容的結構化組織
作者:江蘇省揚州市廣陵區教育局教研室 石樹偉 點擊數:3511 更新時間:2014年2月13日 文章錄入:智慧數學
   


大道至簡:再議數學教學內容的結構化組織

(江蘇省揚州市廣陵區教育局教研室  225001

  要:數學知識結構是客觀存在的,教學內容結構化組織對數學學習具有重要意義,當前教學內容結構化組織缺失的現象依然存在,必須加強數學教學內容的結構化組織:微觀上追求教學內容板塊化,中觀上追求教學內容縱橫化,宏觀上追求教學內容網絡化.數學教學內容結構化組織的關鍵在于教師“理解數學”的能力.

關鍵詞:教學內容結構化;板塊化;縱橫化;網絡化;理解數學

 

1  問題的提出

文[1]對數學教學內容的結構化組織進行了深入的實踐研究.新課程改革已經十多年,在此背景下有必要再議數學教學內容的結構化組織.

11  數學知識結構是客觀存在的






量子論創立者普朗克說:“科學是內在的統一體,它被分解為單獨的部門不是由于事物的本質,而是由于人類認識能力的局限,實際上存在著從物理學到化學、人類學到社會學的連續鏈條”.數學的內在統一尤為顯著,且不以人的意志為轉移,例如復數系內數的六則運算的內在聯系如圖1所示.



12  教學內容結構化的意義

教學內容結構化組織有利于學生將數學知識結構內化為良好的數學認知結構.良好的數學認知結構具有簡約性,有利于數學知識的記憶和存儲、檢索和應用;良好的數學認知結構具有遷移性,知識是能力形成的基礎,但并不是所有知識都有助于能力的提升,并不是知識越豐富能力就越強,只有結構化的知識才對能力的形成起促進作用;良好的數學認知結構具有發展性,具有自我生長的活力, 容易在新情境中生成新知識、新方法、新思想.

13  教學內容結構化缺失的現象依然存在

    囿于教材編寫的限制帶來教學內容的分散性,囿于教學課時的限制帶來教學過程的間斷性,數學教學中一直存在著“數學知識的整體把握和局部認識之間的矛盾” [2].新課程倡導自主、合作、探究學習,但不少教師因過度強調“開放”而陷入“完全放開”,導致課堂教學缺少“核心主線”,學生學到的是一些零散的、缺乏有序組織的知識,教師忘記引領學生關注對知識的整體認識,影響了學生良好數學認知結構的形成.

綜上所述,新課程背景下教師在教學設計時仍需注重教學內容的結構化組織,注意各章節、單元或同一課時中教學內容之間的相互聯系,加強學習領域、模塊或主題之間的整合,固點、串線、組面,幫助學生形成良好的認知結構.

2  教學內容結構化組織的層次和策略

21  微觀上追求教學內容板塊化

在知識點內部,也呈現著結構化關系.教師在進行課時教學設計時應認真分析構成這一知識點的各要素之間的關系,按照知識內部邏輯線索和學生認知規律,從整體出發,對教學內容進行“整”、“刪”,整合教學內容,突出重點,明晰難點,抓住要點,刪除非基礎性、非結構性的教學內容,從而形成三至五個“教學板塊”,以體現數學內在的整體性[3]

211  環環相扣,讓教學脈絡清晰

每個教學板塊的側重點可以不同,一般設計“概念——性質——應用——拓展”等教學板塊,而概念教學可以設計“引入——本質屬性歸納——下定義——辨析鞏固”等教學板塊,環環相扣,從而體現知識的內在線索.這里一定要讓基本概念、基本原理等核心內容置于各板塊的中心地位,讓學生牢固掌握基本概念的本質屬性和基本原理的普遍意義,同時也為以后構建知識結構做好“固點”鋪墊.

案例1  初中數學“圖形的旋轉”板塊設計.本節教學內容可分為四個板塊:①旋轉概念:觀察、分析旋轉實例歸納旋轉定義,輔以辨別識圖訓練鞏固概念;②旋轉性質:自主探究歸納旋轉性質,輔以性質應用鞏固性質;③旋轉作圖:由簡單到復雜應用旋轉性質作圖,給學生動手操作的機會;④旋轉應用:欣賞旋轉在圖案設計中的美妙應用,感受數學美.

【評析】教材中圖形的旋轉一節知識點多,內容瑣碎,通過板塊化設計使瑣碎的內容得到整合,課堂教學脈絡清晰,知識結構明了,內在邏輯線索清楚,切合知識的發生發展過程和學生的認知規律,利于學生掌握和應用.

212  層層深入,讓結構思維同振

每個教學板塊的思維層次也可以不同,如小學數學(蘇教版)“解決問題的策略”,中學數學“反證法”、“待定系數法”、“數學歸納法”等體現數學思想方法和策略的內容可以從“感知——提升——應用——感悟”四個層面進行設計,層層深入,避免思維的平鋪直敘,同時以數學思想為主線統領知識方法,以體現數學內在的整體性

案例2  “用轉化的策略解決問題”板塊設計(蘇教版小學數學第九冊)[4]

板塊一:回顧感知.

1. 回顧:平行四邊形、三角形面積公式的推導過程和小數除法、分數除法的計算過程.

2. 小結:把“未知”轉化為“已知”,揭示課題.

板塊二:探索提升.

1. 1  這里有2幅圖(圖略),請你觀察思考:誰的面積大?

學生分組合作探索比較兩幅圖面積的大小.引導學生思考:運用什么方法比較的?是怎么轉化的?小結:不規則圖形→規則圖形

2. 計算:


學生嘗試,教師引導用不同的方法計算(如圖2).小結:同一道題還可以有幾種不同的轉化方法:異分母→同分母,算式→圖形,加法→減法.

3. 小結:由“復雜”轉化為“簡單”.

板塊三:拓展應用.

1. 練習:學生自主探索,體驗用轉化的策略解決問題.

2. 展評:展示學生作業并評議.

板塊四:總結感悟.

1. 同桌交流:今天你學習了什么策略?你知道有哪些轉化的策略?

2. 教師引導:引導學生感悟轉化的思想,即把未知轉化為已知,把復雜轉化為簡單.

【評析】本設計的四個板塊從學生熟悉的轉化策略的應用入手,逐步深入,轉化的方法也不斷推陳出新,由易到難,符合學生的思維特征.“轉化思想”這根主線貫穿整個設計始終,讓知識和方法得到有機融合,體現知識和方法內在的整體性.

22  中觀上追求教學內容縱橫化

按照教材邏輯順序逐一教學組成知識結構的各部分知識時, 應改變傳統的分散、孤立的教學方式,要始終把每堂課教學的知識置于整體的知識體系中,讓學生明確意識到今天學習的知識是整體知識體系中的一個部分, 并知道該部分知識在整體中所處的地位, 從而讓學生在一定的知識體系中更好地理解各部分知識[1].具體操作策略就是在課時教學設計時溝通知識之間在縱向或橫向上的聯系,讓知識“串線”,體現教學內容的縱橫化.

221  瞻前顧后,讓來龍去脈清楚

《義務教育數學課程標準(2011年版)》明確指出,數學知識的教學,要注重知識的“生長點”與“延伸點”,處理好局部知識與整體知識的關系,引導學生感受數學的整體性.這就要求在組織教學內容時加強知識之間的縱向聯系,讓學生明白知識的來龍去脈.

案例3  初中數學“完全平方公式”教學流程[5]

1.探索活動:

1)前面已經學習了多項式的乘法,你能說說運算法則嗎?運算的依據是什么?

2可以利用公式直接寫出結果,它是時的特例.在中,你認為還有哪些特殊情形?你能得到什么?(完全放手讓學生探究,學生的結論多種多樣,包括完全平方公式和平方差公式)

3)完全平方公式有哪些特征?請你用自己的語言表述公式.

2.公式應用:例題與練習略.

3.幾何解釋:如果表示線段的長,則分別表示正方形的面積,你能根據公式形式,自己構造圖形表示完全平方公式嗎?

4.課堂小結:

1)請你說說公式的結構特點及應用時應注意的問題.

2)請你總結一下這節課討論問題的基本過程.(從一般到特殊,考察特例)

3)能否循著上述思路,再提出一些值得研究的問題?

【評析】完全平方公式是多項式乘法時的特例,多項式乘法是完全平方公式的知識生長點.本課引導學生在多項式乘法基礎上探究特例,切合知識的發生發展過程和內在的邏輯線索.課堂小結時引導學生反思公式的探索過程,有利于學生積累基本活動經驗;鼓勵學生繼續探究特例(知識延伸點),有的學生提出推廣次數,研究……,有的學生提出推廣字母個數,研究,有利于培養學生發現和提出問題的能力.本課學生對完全平方公式知識的來龍去脈清清楚楚.

222  左顧右盼,讓知識之間融通

有些知識之間在縱向的邏輯線索上沒有必然的聯系,但因為所蘊含的數學思想方法相同或知識的部分要素及表達形式相近而客觀存在著一定的橫向聯系,應溝通這種聯系,打破知識系統之間的封閉和保守,讓學生頭腦中形成一些內容充實、結構開放的數學知識結構.

有些知識之間數學思想方法的遷移力強,教師應引導學生類比學習,如類比一元一次方程的解法學習一元一次不等式的解法,類比角平分線或線段垂直平分線的集合定義學習圓的集合定義,類比學習能有效突破學習難點;有些知識之間容易混淆,教師應引導學生對比學習,如三角形的外心和內心(簡稱),可以從全稱、圖形、位置確定、性質等方面進行列表比較,指數函數、對數函數都可以從定義域、值域、圖象、性質等方面進行列表比較,對比學習能有效厘清易混點.

案例4  兩種圓錐曲線之間的橫向聯系及聯想.類比橢圓學習雙曲線后,可以引導學生繼續進行聯系和聯想:設兩定點間的距離為),到兩定點距離之和等于定長)的點的軌跡是橢圓,到兩定點距離之差等于定長)的點的軌跡是雙曲線,橢圓和雙曲線分別對應于四則運算中的加、減運算,有沒有曲線對應于乘、除運算,是什么曲線?可以引導學有余力的學生進行研究.其實,對應于乘、除運算的曲線是存在的,到兩個定點距離之比等于定值(定值)的點的軌跡是圓(阿波羅尼斯圓),到兩個定點距離之積等于定值的點的軌跡是卡西尼卵形線(雙紐線是其特例,此時[6]

【評析】通過圓錐曲線的橫向聯系及聯想,學生既能掌握它們之間的聯系與區別,又能充分體悟數學知識之間的內在統一,欣賞數學的簡約美,同時也能充分感受到數學知識結構強大的自我生長活力,良好的知識結構能大大增強對未知世界的洞察力.

23  宏觀上追求教學內容網絡化

我國教材編寫及教學的思路經歷了由“部分——部分——整體”到“整體——部分——整體”的轉變這種轉變有利于學生對知識結構的整體把握.教師應充分利用教材的章引言與章小結,上好單元起始課和復習小結課,讓知識“組面”,使教學內容網絡化

231  開宗明義,讓知識結構滲透

不少教師認為章引言可有可無,不影響學生對本章知識的理解和掌握,這種觀點是錯誤的.教師應加強“先行組織者”的使用,上好單元起始課,激發學生學習興趣,讓學生了解本章內容概貌及本章主要數學思想方法和學習(研究)方法,提前滲透本章知識結構.

案例5  “二次函數”的先行組織者.

教師引言:我們今天開始學習二次函數的有關知識. 在研究反比例函數時,我們類比了一次函數的研究思路. 類似地,在具體研究二次函數之前,我們先概括一下反比例函數研究的問題、線索和基本方法,以便我們找到學習本章內容的大方向.

問題1:你能總結一下“反比例函數”一章研究的問題、過程與方法嗎?

(通過回顧、交流、歸納得到“反比例函數”一章研究的問題:反比例函數的概念、圖象、性質、應用;研究的過程:由實際問題抽象得到反比例函數概念,從而得到研究對象,研究反比例函數圖象的目的是為了結合圖象研究反比例函數的性質,最后利用反比例函數的圖象和性質解決一些問題;研究的方法:主要是函數建模和數形結合.)

問題2:類比反比例函數的研究,你能勾畫一下二次函數研究的問題、過程和方法嗎?

【評析】問題1意圖讓學生明確一個類比對象,使學生了解函數研究的“基本套路”. 問題2通過類比,讓學生對“二次函數”的內容有一個整體認識,在后續研究中能見木見林,同時給學生提供基本思想方法,從而增強學習的主動性.這樣,通過“先行組織者”搭建研究框架,提前滲透本章知識結構.

232  歸納梳理,讓知識結構明晰

復習小結課存在著注重通過解題訓練鞏固復習知識而不注重知識梳理的傾向,這是舍本逐末的錯誤行為.“磨刀不誤砍柴工”,良好的知識結構是能力形成基礎,因此復習小結應重視知識網絡的歸納梳理,而且要搞好多層次的歸納梳理,除搞好單元知識歸納梳理外,還應注意引導學生進行跨越教材編排的時空界限、圍繞一定主題的歸納梳理, 把在不同階段學習的相關內容聯系起來, 構成一個具有更大包攝性的知識系統.構建知識網絡的過程中應引領學生注重數學思想的核心統領作用,構建一個既有肉體又有靈魂的數學知識結構.

案例6  “一元二次方程”及其相關主題的知識網絡(如圖3、圖4、圖5).

【評析】3是一元二次方程單元知識結構.圖4初中代數方程的知識結構,一元二次方程是其子系統,轉化思想是其靈魂.圖5反映了“四個二次”(二次三項式、二次函數、一元二次方程、一元二次不等式)之間的關系,一般與特殊、數形結合思想是其靈魂.三幅知識結構圖體現出對于某些數學知識可以從不同的角度加以分析、從不同的層次進行理解.

 


 

 

 

 

 

 

 

 


3  教學內容結構化組織的關鍵

教學內容結構化組織的關鍵在于教師“理解數學”的能力,即教師的“數學素養”:了解中小學數學課程結構體系,數學知識的背景,教學重點的知識,學生數學學習難點的知識;能準確地把握數學概念、定理、法則、公式等的邏輯意義,能深刻領悟內容所反映的數學思想方法,具有挖掘知識所蘊含的科學方法、理性思維過程和價值觀資源的能力和技術,善于區分核心知識和非核心知識等[4].教師只有切實提高自己“理解數學”的能力,才能站在更高的高度、用更寬的視野做好教學內容的結構化組織.

 

參考文獻:

1]“小學數學整體結構教學研究”課題組.小學數學整體結構教學的實驗研究[J].課程•教材•教法,200008):25-30

2]李光樹.小學數學教學論[M].北京:人民教育出版社20034-4

3]陳士文.板塊、獨立、反饋[J].遼寧教育,200710):41-42

4]陳士文.字紙簍中的“智慧數學”[M].南京:江蘇教育出版社,201381-83

5]章建躍.中學數學課改的十個論題[J].中學數學教學參考,201005):2-5

6]徐章韜.制作動態幾何課件的關鍵是什么[J].數學通報,201301):52-55

 

The greatest truths are the simplest

----A further discussion on structural organization of math teaching content

Shi Shuwei

(Teaching and research section 0f Guanglin Bureau of Education, Yangzhou, 225001)

Abstract:  This paper researches on the importance of structural organization of math teaching content, which is often neglected in practical mathematic teaching activities. The author proposes that the key point of structural organization of math teaching content lies on the teachers’ extent of their “understanding of math”. On microscopic level, the teaching content should be partitioned, on Mesoscopic level, be crisscrossed, and on macroscopic level, be systemized like a network.

 

Keywords: Structural organization of teaching content, partitioned, crisscrossed, networked, understanding of math

 

注:本文發表于核心期刊《數學通報》2014年第1.

   
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